Collatz Conjecturen

Collatz-formodningen (Collatz Conjecturen) siger, at uanset hvilket helt positivt tal, man starter med, så ender man på et tidspunkt med tallet 1, hvis man følger proceduren herunder, og bliver ved længe nok.

Hvis n er lige, så divider med 2: n ->n/2.
Hvis n er ulige, så gang med 3 og læg 1 til: n-> 3n+1
Start forfra med det nye tal.

Eksempler:
Begynd med n=1. Så får man 1, 4, 2, 1. Altså tilbage igen i et lille loop.
Begynd med 9. Så får man 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Alle de 20 tal, vi passerede for at nå fra 9 til 1 er nu undersøgt – de følger samme tur hver gang.
Lad os tage et nyt: n=12. Det giver 12, 6, 3, 10 og så rammer vi et, vi har kortlagt, nemlig 10 og følger som ovenfor 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Collatz-formodningen (efter tyske Lothar Collatz), også kendt som ( 3 n + 1 ) - formodningen, er et berømt uløst problem inden for talteori. Problemet er enkelt at formulere, men vanskeligt at løse. Erdos sagde om det: "Matematikken er endnu ikke parat til sådanne problemer."

Det er så let at programmere en computer til at udregne Collatz-følger, at mange amatører har prøvet kræfter med det. Det vides at et mod-eksempel til formodningen må have mindst sytten (decimaler) cifre.

Et mod-eksempel kan opstå på to forskellige måder. Enten kommer følgen ind i en anden "løkke" end 1,4,2, altså der findes en anden periodisk udvikling af Collatz-iterationen, eller også vokser følgen uden grænse (og går imod uendelig).

Mange tror på formodningen og forventer derfor ikke at et mod-eksempel kan findes. På den anden side kan formodningen modbevises ved blot at fremvise ét eksempel på en ikke triviel "løkke" (som i givet fald måske skal findes ved hjælp af computer).

Bemærk, at Collatz-formodningen kaldes en Conjecture, ikke et theorem. Det er fordi den endnu ikke er blevet bevist!

Eksempel: Dagen i dag er nummer 171 i året 2024.
Collatz rækken for tallet 171 er:

171 – 514 – 257 – 772 – 386 – 193 – 580 – 290 – 145 – 436 – 218 – 109 – 328 – 164 – 82 – 41 – 124 – 62 – 31 – 94 – 47 – 142 – 71 – 214 – 107 – 322 – 161 – 484 – 242 – 121 – 364 – 182 – 91 – 274 – 137 – 412 – 206 – 103 – 310 – 155 – 466 – 233 – 700 – 350 – 175 – 526 – 263 – 790 – 395 – 1186 – 593 – 1780 – 890 – 445 – 1336 – 668 – 334 – 167 – 502 – 251 – 754 – 377 – 1132 – 566 – 283 – 850 – 425 – 1276 – 638 – 319 – 958 – 479 – 1438 – 719 – 2158 – 1079 – 3238 – 1619 – 4858 – 2429 – 7288 – 3644 – 1822 – 911 – 2734 – 1367 – 4102 – 2051 – 6154 – 3077 – 9232 – 4616 – 2308 – 1154 – 577 – 1732 – 866 – 433 – 1300 – 650 – 325 – 976 – 488 – 244 – 122 – 61 – 184 – 92 – 46 – 23 – 70 – 35 – 106 – 53 – 160 – 80 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1
Totalt: 124 iterationer over tallet. 171. Største værdi: 9232

Collatz rækken for tallet 2024 er:

2024 – 1012 – 506 – 253 – 760 – 380 – 190 – 95 – 286 – 143 – 430 – 215 – 646 – 323 – 970 – 485 – 1456 – 728 – 364 – 182 – 91 – 274 – 137 – 412 – 206 – 103 – 310 – 155 – 466 – 233 – 700 – 350 – 175 – 526 – 263 – 790 – 395 – 1186 – 593 – 1780 – 890 – 445 – 1336 – 668 – 334 – 167 – 502 – 251 – 754 – 377 – 1132 – 566 – 283 – 850 – 425 – 1276 – 638 – 319 – 958 – 479 – 1438 – 719 – 2158 – 1079 – 3238 – 1619 – 4858 – 2429 – 7288 – 3644 – 1822 – 911 – 2734 – 1367 – 4102 – 2051 – 6154 – 3077 – 9232 – 4616 – 2308 – 1154 – 577 – 1732 – 866 – 433 – 1300 – 650 – 325 – 976 – 488 – 244 – 122 – 61 – 184 – 92 – 46 – 23 – 70 – 35 – 106 – 53 – 160 – 80 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1
Totalt: 112 iterationer over tallet. 2024. Største værdi: 9232